ما الفرق بين الأعداد النسبية وغير النسبية ؟

كيف تعمل الاشياء

إذا كان الرقم عبارة عن نسبة عددين صحيحين (على سبيل المثال ، 1 على 10 ، -5 على 23 ، 1543 على 10 ، إلخ) فهو رقم نسبي. وإلا فهو غير نسبي.

عندما تسمع كلمتي "عقلاني" و "غير عقلاني" ، قد يخطر ببالك الفرق بين ، على سبيل المثال ، السيد سبوك اللطيف التحليلي بلا هوادة والدكتور "بونز" مكوي عاطفيًا المتقلب عاطفيًا في "ستار تريك" عالم التلفزيون والأفلام. ما لم تكن عالم رياضيات ، فربما لا تفكر في النسب بين الأعداد الصحيحة مقابل الجذور التربيعية ، وهو نوع الأشياء التي تجعل غير الرياضيين بيننا يشعرون بالارتباك كما نسمع أغنية Queen's Bohemian Rhapsody التي تُغنّى في Klingon .

لكن في عالم الرياضيات ، حيث يكون للكلمات أحيانًا معاني محددة تختلف تمامًا عن الاستخدام اليومي ، فإن الفرق بين الأرقام النسبية وغير النسبية لا علاقة له بالمنطق والمنطق مقابل الدوافع العاطفية الخام.

تذكر كلمة "نسبة"

يشرح إريك د كولاشيك: "عند تذكر الفرق بين الأعداد النسبية وغير النسبية ، فكر في كلمة واحدة: النسبة". وهو أستاذ في قسم الرياضيات والإحصاء في جامعة بوسطن ومدير معهد رفيق الحريري للحوسبة وعلوم وهندسة الحاسبات بالجامعة.

يوضح Kolaczyk في رسالة بريد إلكتروني: "إذا كان بإمكانك كتابة رقم كنسبة من عددين صحيحين (على سبيل المثال ، 1 على 10 ، -5 على 23 ، 1543 على 10 ، إلخ) ، فإننا نضعه في فئة الأرقام النسبية". "وإلا نقول إنه غير نسبي".

يمكنك التعبير عن عدد صحيح أو كسر - أجزاء من أعداد صحيحة - كنسبة ، مع عدد صحيح يسمى بسط فوق عدد صحيح آخر يسمى المقام. يقسم المقام إلى البسط. يمكن أن يمنحك هذا رقمًا مثل 1/4 أو 500/10 (المعروف أيضًا باسم 50).

الأرقام غير النسبية ، على عكس الأرقام النسبية ، معقدة جدًا. كما يشرح Wolfram MathWorld ، لا يمكن التعبير عنها بالكسور ، وعندما تحاول كتابتها كرقم بعلامة عشرية ، تستمر الأرقام في التكرار دون توقف أو تكرار نمط.

إذن ما هو نوع الأرقام التي تتصرف بهذه الطريقة المجنونة ؟ في الأساس ، تلك التي تصف الأشياء المعقدة. ربما يكون أشهر رقم غير نسبي هو pi - يُكتب أحيانًا بالحرف ، الحرف اليوناني لـ p - والذي يعبر عن نسبة محيط الدائرة إلى قطر تلك الدائرة. كما أوضح عالم الرياضيات ستيفن بوجارت في مقالة مجلة Scientific American هذه عام 1999 ، فإن النسبة ستساوي دائمًا pi ، بغض النظر عن حجم الدائرة. منذ أن أجرى علماء الرياضيات البابليون المحاولات الأولى لحساب pi منذ ما يقرب من 4000 عام ، استمرت الأجيال المتعاقبة من علماء الرياضيات في الانسداد ، وتوصلوا إلى سلاسل أطول وأطول من الكسور العشرية بأنماط غير متكررة. في عام 2019 ، تمكن الباحث في Google Hakura Iwao من توسيع pi إلى 31،415،926،535،897 رقمًا ، مثل تفاصيل مقالة Cnet هذه.

في بعض الأحيان ، الجذر التربيعي - أي عامل العدد الذي ، عند ضربه في نفسه ، ينتج الرقم الذي بدأت به - هو رقم غير نسبي ، إلا إذا كان مربعًا كاملًا يمثل عددًا صحيحًا ، مثل 4 ، الجذر التربيعي من 16. أحد الأمثلة الأكثر وضوحًا هو الجذر التربيعي للعدد 2 ، والذي يصل إلى 1.414 بالإضافة إلى سلسلة لا نهائية من الأرقام غير المتكررة. تتوافق هذه القيمة مع طول القطر داخل المربع ، كما وصفه الإغريق لأول مرة في نظرية فيثاغورس.

لماذا نستخدم الكلمتين "عقلاني" و "غير عقلاني"؟

لماذا نسميها عقلانية وغير عقلانية؟ يبدو أن هذا غامض بعض الشيء. يقول Kolaczyk: "نحن نستخدم كلمة" عقلاني "في الواقع لنعني شيئًا أكثر شبهاً بناءً على سبب أو ما شابه. "يبدو أن استخدامه في الرياضيات قد ظهر في وقت مبكر من القرن الثالث عشر في المصادر البريطانية (وفقًا لقاموس أوكسفورد الإنجليزي). إذا قمت بتتبع كل من" العقلانية "و" النسبة "إلى جذورهما اللاتينية ، ستجد أنه في كلتا الحالتين الجذر هو حول "التفكير" على نطاق واسع. "

ما هو واضح هو أن كلا من الأرقام النسبية وغير النسبية لعبت أدوارًا مهمة في تقدم الحضارة. في حين أن اللغة ربما تعود إلى ما يقرب من أصل الجنس البشري ، فإن الأرقام جاءت بعد ذلك بكثير ، كما يوضح مارك زيغاريلي ، مدرس الرياضيات والمؤلف الذي كتب 10 كتب في سلسلة "For Dummies". ويقول إن جامعي الصيادين ربما لا يحتاجون إلى الكثير من الدقة العددية ، بخلاف القدرة على تقدير ومقارنة الكميات تقريبًا.

يقول زيجاريلي: "لقد احتاجوا إلى مفاهيم مثل" لم يعد لدينا تفاح ". "لم يكونوا بحاجة إلى معرفة أن لدينا 152 تفاحة بالضبط."

ولكن عندما بدأ البشر في اقتطاع قطع من الأرض لإنشاء المزارع ، وإقامة المدن ، وتصنيع السلع والتجارة ، والسفر بعيدًا عن منازلهم ، احتاجوا إلى عمليات حسابية أكثر تعقيدًا.

يقول Kolaczyk: "لنفترض أنك تبني منزلاً بسقف يكون ارتفاعه مساويًا لطول الركض من القاعدة عند أعلى نقطة له". "ما هي مدة امتداد سطح السقف نفسه من الأعلى إلى الحافة الخارجية؟ دائمًا عامل الجذر التربيعي لـ 2 من الارتفاع (الجري). وهذا رقم غير نسبي أيضًا."

في القرن الحادي والعشرين المتقدم تقنيًا ، تستمر الأرقام غير النسبية في لعب دور حاسم ، وفقًا لما ذكرته كاري مانور. هي عالمة وعالمة رياضيات في مجموعة نظم المعلومات والنمذجة في مختبر لوس ألاموس الوطني.

تقول مانور عبر البريد الإلكتروني: "Pi هو أول رقم غير منطقي واضح للحديث عنه". "نحن بحاجة إليه لتحديد مساحة ومحيط الدوائر. إنه أمر بالغ الأهمية لحساب الزوايا ، والزوايا ضرورية للملاحة والبناء والمسح والهندسة وغير ذلك. تعتمد اتصالات التردد اللاسلكي على الجيب وجيب التمام التي تتضمن pi." بالإضافة إلى ذلك ، تلعب الأرقام غير النسبية دورًا رئيسيًا في الرياضيات المعقدة التي تتيح تداول الأسهم عالية التردد والنمذجة والتنبؤ ومعظم التحليلات الإحصائية - جميع الأنشطة التي تحافظ على مجتمعنا نشطًا.

وتطول القائمة. "في الواقع ، في عالمنا الحديث ، من المنطقي أن نسأل بدلاً من ذلك ، أين لا يتم استخدام الأرقام غير النسبية؟" يقول مانور.

المصدر